textos{caducos}

Lo hemos conseguido. Ya tenemos el producto perfecto que todo amo y toda ama de casa quieren para sí: el SRVL-2000. Un robot que limpia la casa, pone lavadoras, tiende la ropa, la plancha, riega las plantas, sabe programar el vídeo y capaz de conversar sobre cualquier tema {lleva incluso una conexión Bluetooth permanente para estar constantemente informado de todos los temas del corazón}. Lo más destacable, sin embargo, es que el robot es incapaz de mentir.

Sin embargo, nuestra última partida de 100 robots nos ha salido defectuosa. Resulta que algunos de ellos, y no sabemos cuántos ni cuáles, aparte de no saber programar el vídeo y tener cierta tendencia a quedarse jugando a la consola o chateando, mienten como bellacos constantemente. Dispuesto a resolver el problema, nuestro ingeniero jefe decide abordar la situación preguntando a cada robot cuántos de sus compañeros están estropeados.

Sus respuestas no dejan de ser curiosas. El robot número 1 contesta: "Al menos uno de nosotros está estropeado". El robot número 2, contesta algo parecido: "Al menos dos de nosotros estamos estropeados". El número 3 sigue con el sonsonete: "Al menos tres de nosotros estamos estropeados". Y así hasta el robot número 100, quien contesta: "Todos nosotros estamos estropeados".

Tal información le fue suficiente a nuestro ingeniero jefe para deducir cuántos y cuáles de nuestros robots estaban estropeados.

¿Puedes decirnos cuántos y cuáles de la partida de esos 100 robots son defectuosos? {Las respuestas, y todo lo que quieras añadir, en los comentarios}

Mi tío Gilipo, el joyero, vino a verme ayer tarde. Resulta que el Conde de M. {nos reservamos el nombre por cuestiones obvias} quería regalarle a su amante, la Duquesa de O. un diamante único. Traído de las lejanas minas de Dondestén, pero en estado bruto, lo dejó a mi tío para que él lo tallara, pues su arte es conocido en toda la región y en parte de Despeñaperros.

-- Pero el Conde me ha impuesto una condición inexcusable. - explicó mi tío - El tallado del diamante ha de ser tal que cada cara ha de tener un número diferente de lados.
-- Es decir, que no puede haber dos caras que tengan en su contorno igual número de aristas, ¿no es eso?- pregunté.
-- Efectivamente, por eso vine a verte para que me orientaras antes de empezarlo a tallar. Por más diseños que hago, no logro dar con el adecuado. -Una vez más se enjugó el sudor con su pañuelo de seda bordado por un grupo de parturientas búlgaras, caro donde los haya.
-- Pues has venido a preguntarle a la persona idónea. Yo voy a darte la solución para construir ese diamante.

Y cuando se la di, casi se me desmaya del soponcio. Mi "es imposible" se le incrustó directamente en la cuenta corriente.

La pregunta es: ¿Por qué es imposible tallar el diamante como se le exige a mi tío Gilipo?

El Zar anda revuelto estos días. Últimamente sospecha que su esposa, la Zarina Soyuna Lova, mantiene más que conversaciones con el conocidísimo playboy griego Sergei Arratos. Es más, sospecha que se la dan con manteca de cacahuete.

Con el fin de evitar ver su honor mancillado y evitar de paso que le vinculen con ciertas prácticas, digamos íntimas, con los leñadores del Volga, ha decidido vigilar celosamente todo el correo que recibe y envía su aparentemente díscola esposa. Así, toda carta será sutilmente abierta y escrutada. Tan sutilmente que los supuestos amantes no sabrían que ha sido interceptada. Además, de toda llave que circule por el correo será copiada, se tomará nota de toda clave o código que se encuentre en el correo; y si en algún momento se envía alguna caja o algún paquete con cerradura o candado, se probarán todas las llaves y claves para ver si puede abrirse sin dañarlo. No se abrirá ninguna caja de la que no se disponga de llave, con el fin de evitar que los amantes sospechen de que están siendo espiados.

Soyuna, que pese a ser de sangre caliente, de tonta no tiene un cabello, sabe de las intenciones de su maridito. Ni corta ni perezosa decide idear algún método que le permita comunicarse con su, efectivamente, amante Sergei, conservando la privacidad. El método ha de cumplir también que, en ningún momento el Zar pueda abrir paquete o caja alguna sin descubrirse todo el pastel del espionaje.

La pregunta es: ¿Qué procedimiento puede usar la Zarina para comunicarse con Sergei de la forma que ella desea?

Mi tío Gilipo consiguió por fin que el Conde de M. saliera satisfecho con la talla de su diamante {véase Facetas Distintas}. Aunque las matemáticas digan una cosa está claro que cuando están en juego un porrón {o botijo} de euros, mi tío es capaz de cualquier cosa.

Hoy la visita tenía otro fin mucho menos lucrativo. En realidad mi tío tenía un serio problema de filtración de información que quería atajar a toda costa. A su cargo trabajaban 5 empleados, quienes se encargaban de los nuevos diseños para la temporada siguiente. Habida cuenta de que los diseños del taller de mi tío eran la envidia de la burguesía local, y que casi se los arrancaban de las manos cuando los ponía en el mercado, mi tío era especialmente celoso con que no saliera de las paredes del taller ni un sólo motivo, figura o diseño. Sobre todo no hacia la empresa McGema, empresa polémica autora de la diadema-tobillera, que tantos detractores y fieles seguidores había labrado.

El caso es que mi tío había descubierto que algunos de los diseños habían llegado a la mesa de McGema los últimos meses. Evidentemente había algún intruso en su propia empresa. Sin embargo, y según me contaba mi tío:

-- Ninguna empresa copiaría mis diseños a menos que les llegara de manos de dos de mis colaboradores. Uno solo no goza de la credibilidad suficiente.
-- O sea, que tienes dos bocazas en tu empresa, me estás diciendo.
-- Exacto. He comprobado que algunos diseños, los que hago en grupos privados, no llegan a McGema.
-- Ahm, puedes crear en petit comité, de forma que el resto de tus empleados no sepan de esos diseños.

Mi tío se enjugó la frente con su nuevo pañuelo, bordado con los pies por un grupo de huérfanos de guerra en su lecho de muerte.

-- Eso mismo te digo, y estoy dispuesto a localizar a esos sinvergüenzas.- Sus ojos brillaron con una lucidez aterradora -Incluso estoy dispuesto a crear diez geniales diseños que crearé con todas las emparejamientos posibles de mis empleados.
-- Quieres decir que vas a reunirte con ellos de dos en dos, en privado, de forma que cubras todas las parejas posibles. Así, según el diseño que se cuele hacia McGema identificarás a tus, digamos, lenguaraces.
-- Sí, eso, aunque yo hubiera empleado un término menos benevolente. Pero si solicito tu ayuda es porque no estoy seguro de, bueno, ser capaz de crear tanto diseño en el poco tiempo que queda antes de que saquemos la colección. Si tú tuvieras alguna idea, te recompensaría generosamente.

Mágicas palabras. Mi mente se puso en marcha en ese mismo instante.

La pregunta es: ¿Es posible reducir el número de diseños necesarios para encontrar a la pareja de espías colaboradores de mi tío?

--¿Cuál es el número de Mónica?
El ayudante mira la tabla de códigos antes de responder. --Mmm, el 422820.
-- De acuerdo, ¿y el de Blas?
-- A ver, que mire... Ya, el 55716.
-- Perfecto, ¿y el de Amparo?
El ayudante pasa y repasa la tabla. No encuentra lo que busca y anuncia -- No, Amparo no tiene código.
-- ¿Cómo que no? Déjame mirar.-- La mirada escrutadora del jefe se ilumina. -- Sí, sí tiene código. Quizá creías que debiera empezar con 9591, y claro, te has metido en un callejón sin salida. En realidad el código debe ser 9515188.
-- ¡Es cierto!
-- ¿Ves? Pues prosigamos, aún me faltan los códigos de Paula, de Ramón, de Óscar, de Nicolás y el de Luis. Ah, y el de Irina y Laura.

¿Cuáles son los códigos que faltan?

Entre las ciudades de Fifthpine y Cinquièmepin median seis días de atravesar a pie un despiadado desierto. El mariscal Von James Von, en su afán aventurero partirá mañana para atravesar la cruel ruta desde Fifthpine. El mariscal sabe que un hombre sólo puede acarrear la comida y agua suficiente para sobrevivir cuatro días andando bajo el avaricioso sol, y que no hay vehículo alguno que pueda soportar las altas temperaturas del desierto. Así que tendrá que ingeniárselas para llegar a Cinquièmepin contratando porteadores.

Cada porteador, evidentemente, también debe restringirse a acarrear comida y agua para caminar durante cuatro días, así que para realizar la travesía el mariscal habrá de ingeniárselas para lograr su objetivo. No quiere perderse de ninguna de las formas el arroz con serranas que preparan en la ciudad de Cinquièmepin.

Y aquí va la pregunta: ¿Cómo puede disponer el mariscal Von James Von el viaje para lograr alcanzar su destino?

Año 3015. En casa de Herrero Cuchillo de Palo. Interior Salón. Fotos de Danuta y Sabrina decoran las exquisitas paredes. Un joven, Frank Higos Tujolibu ve el programa de telerrealidad de moda: "El váter de tu vida". Se oye el ruido de los planeadores en la calle, así como los gritos de las castañeras. De pronto, el sonido como de una explosión y el humo que emerge de la escalera que lleva al sótano inunda el cuarto. El joven Frank salta sobresaltado de su sillón de diseño del Carrefour.
Entra el Doctor Herrero.
Doctor: ¡Albricias, zapatetas y otras cosas de meter! ¡Lo logré!
Frank: ¿Qu-qué pasa, tíito? ¿Qué es esa explosión? ¿Qué gritas?
El Doctor se sobresalta por el flequillo de su sobrino
D: Caramba, estás aquí. ¿El desfile del Orgullo Zoofílico no era hoy? ¿Qué haces que no estás desfilando con tu morsa?
F: Lo hemos dejado. No podía soportar sus ronquidos. Pero no me hables de eso ahora, y cuéntame, ¿qué es ese descubrimiento que tanta alegría te reporta? ¿Y qué ha sido la explosión?
D: Ah, la cafetera, que me la había dejado al fuego mientras meditaba en mi invento y ha reventado. Nada importante. Por lo menos, no en comparación con lo que acabo de descubrir: ¡El viaje en el tiempo!
F: Vaya... ¿otra vez? Espero que en esta ocasión tengas más suerte que en tus anteriores tentativas. Aún recuerdo el ridículo que pasamos en la Asociación de Amigos de los Viajes en el Tiempo y las Tostadas Recién Hechas. Esa otra máquina tuya los dejó perdidos de brea, y casi nos expulsan del club de pimpón.
D: No me lo recuerdes. Pero esta vez no habrá tal ridículo, es imposible fallar. ¡Y es tan condenadamente fácil que no sé por qué no se le ocurrió a nadie antes!
F: Explícate, tiíto, ¿qué método es ése tan sencillo e infalible?
D: Mmmm, déjame explicarte. Tú sabes que la Tierra gira sobre sí misma, ofreciendo un ángulo distinto al sol según la hora, ¿no?
F: Sí, eso me enseñaron en la Universidad. Hasta hicimos prácticas con plastilina.
D: Y bueno, tú sabes también que las horas del día van cambiando según los meridianos. Por ejemplo, el siguiente meridiano hacia el oeste tiene, por lo general, una hora menos que el nuestro donde nos encontramos.
F: Ésa es una asignatura completa de mi doctorado, pero sí, es cierto.
D: Pues bien, mi viaje en el tiempo consiste en lo siguiente. Supón que salgo ahora mismo en dirección Oeste con el objetivo de dar una vuelta completa al globo terrestre y que en el viaje tardo 23 horas exactas. Pues bien, como por cada meridiano que atraviese, adelanto una hora y atravieso 24 horas, resultará que cuando llegue, lo haré ¡una hora antes de haber salido!
F: No lo entiendo. Sé que no alcanzarás ni la décima parte de la velocidad de la luz. Las antiguas teorías relativistas, esas que estudié en la E.S.T.O., dicen que apenas habrá diferencia entre tu tiempo transcurrido y el mío. O sea, que si yo me quedo aquí, y sales ahora mismo, llegarás en 23 horas. Como son las ocho de la mañana, pues... eso significa que llegarás a las siete de la mañana de mañana.
D: Sé que es difícil de entender, pero espera que te lo explique mejor. Hoy es lunes, ¿no?
F: Sí, cierto.
D: Es cierto para la zona en la que estamos. Como son las ocho de la mañana, ocho meridianos hacia el oeste de nosotros aún es domingo, y puesto que mi viaje es más corto que lo que dura un lunes, 24 horas según mis cálculos, en algún momento de mi viaje atravesaré el meridiano donde se cambia de día, es decir, entraré en la zona de La Tierra donde aún es domingo. Viajaré en la zona donde es domingo todo el rato, porque el cambio sólo se produce de domingo a lunes. Cuando llegue aquí, ¡será domingo! ¡Maravilloso, no es que adelante una hora, es que adelanto un día y una hora!
F: ¡Tiíto! ¡Ahora lo veo claro y diáfano como un televisor de plasma! ¡Tienes toda la razón!

Frank coge su teléfono móvil, le echa unas monedas y en susurros, habla con el hospital siquiátrico.

Y la pregunta es: ¿Dónde está la falacia en el argumento del Doctor?

En un lugar de la Mancha en mi Expediente, agosto 3015

Mi querido sobrino:

Fui la rechifla en la presentación de mi máquina del tiempo à la Carrol. Al parecer mi archienemigo el profesor Moria Arty ya había descubierto tiempo atrás el procedimiento y ya había establecido su propia empresa "Viaje día a día" y estaba ganando un pastonazo.

Jamás en mi vida había sentido vergüenza semejante frente a esas 201 personas, venidas de cinco países distintos. En grupos de 6, en todos los posibles grupos de 6, se me acercaron para reírse en mi cara. Y eso que había jóvenes y menos jóvenes, ninguno me respetaba. Aunque también fue casualidad que en en todos esos grupos siempre coincidieran al menos dos personas con la misma edad.

Ay, qué dolor.

Tu tío, el humillado doctor Herrero.

Y aquí va la pregunta: Demuéstrese que en aquella reunión había al menos cinco personas de la misma edad, nacionalidad y sexo.

--Y bueno, ya has conseguido derrotar a tus cuarenta rivales en El Foso de Las Preguntas de Historia...
--Sí.. --Anselmo sudaba como un caballo con sobredosis de adrenalina.
--Sabes que ahora podrás canjear tus 1871 puntos por dinero, ¿no?
--Sí...--- Sus manos no tenían nada que envidiar a las cataratas del Iguazu.
--Pues hay cuatro posibilidades. La opción A, en la que canjearás cada punto por 25 euros; la B, por la que se te dan 10 euros por punto; la C, que está a 500 euros por punto; y por fin, la D, que son sólo 0 euros por punto. ¿ Conoces la mecánica del juego, verdad?
--Sí...--- Quizá ese muchacho también exudaba neuronas, o era un perpetuo deja vu
--Entonces sabrás que si dices un aserto verdadero, el jurado te asignará uno de los premios A o B; si el aserto que dices resulta ser falso, te asignará entonces el C o el D. Mmmm, puedes jugar a ganar algo con el A o el B, o quedarte sin nada si eliges alguno del C o el D. En tus manos está.
--Sí...

Y entonces llegó la sorpresa, pues nuestro monosilábico concursante logro articular una frase con la que el jurado no tuvo más remedio que asignarle el premio C.

Y la pregunta es: ¿Qué aserto pudo decir para asegurarse el premio C?

Este juego es más antiguo que el Sol {bueno, quizá no tanto} pero lo suficientemente bueno como para que le echemos una revisión

El planteamiento es el que sigue:
En la orilla de un río hay tres misioneros y tres caníbales, y todos pretenden cruzar al otro lado. Para su desgracia, la barca para cruzar sólo tiene cabida para dos personas, con lo que alguien ha de estar volviendo siempre a la orilla inicial mientras quede gente sin cruzar.
Pero también tenemos otro problema: Si en alguna ocasión y en cualquiera de las orillas se encuentran un número mayor de caníbales que de misioneros, los primeros se comerán a los segundos {bueno, a lo mejor sólo los mordisquean, pero vaya}.
El objetivo del juego es, por tanto, lograr ingeniárselas para que todos puedan cruzar al otro lado con todo su cuerpo libre de bocados.

Y la pregunta es: ¿Cómo hay que organizar los viajes para que misioneros y caníbales todos logren alcanzar la otra orilla del río?

¿Qué tiene de particular este número: 6174?

Y ahora, la pregunta:¿Cuáles son los de 6 cifras?

Marta, Irene, Pepe, Patricia, Inma, el Sapo, Rey y Laura, en la playa. Cada uno con su cubo de arena, excepto el Sapo, que lleva varios {se los ha quitado a su primo Carlos en un descuido} y el de Marta es el más grande de todos. De hecho, más que un cubo es un barril

Juegan. Tienen apenas seis años y les gusta montar flanes de arena. Llenan los cubos, aplastan la arena y los voltean. Plaf, un nuevo flan, o una nueva torre del castillo. Todos entregados a la tarea.

Excepto Marta, claro, que con el cubo tan grande que lleva no puede levantarlo ni con la ayuda de Pepe {todos creen que a Pepe le gusta Marta, pero ninguno de ellos se ha atrevido a preguntarles}. Marta va cogiendo prestados los cubos de los demás, los llena de arena y los vuelca en su barril. Cuando los ha cogido todos, resulta que el barril está casi lleno.

El Sapo se ha dado cuenta de eso último, y le ha dado por pensar: ¿Habrá pasado en algún momento, cuando Marta ha estado vaciando esos cubos en el barril, que la fracción de cubo lleno de arena coincidía con la fracción de barril lleno? Pero enseguida ve que Rey tiene problemas con su castillo {pretende construirlo al revés, y se le cae cada dos por tres} y acude a ayudarle.

Y aquí va la pregunta: ¿Cuál es la respuesta a la pregunta que se formula el Sapo?

Un número puede ser escrito en otra base distinta a la base 10, pero antes, ¿qué significa eso de "base"?. A ver cómo lo cuento para los no iniciados:
Cuando hablamos del número 75, estamos diciendo que en realidad tomamos 7 decenas y 5 unidades, esto es 75=7*10+5. Si el número tuviera cuatro cifras, como el 1274, entonces es que 1274=1*1000+2*100+7*10+4. O, escrito de otra forma, 1274=1*10³+2*10²+7*10¹+4*10⁰
Vemos que cada cifra, y según su posición, va multiplicando a una potencia de 10 entera y creciente de derecha a izquierda. Por eso hablamos de la base 10.
Podríamos hablar de otras bases, como por ejemplo, la base 5. El número 234₍₅ es el 2*5²+3*5¹+4*5⁰, es decir el 69 en la base 10
Una pequeña apreciación: cuando representamos a un número en una base b determinada, sólo podemos usar cifras que sean menores que la base en la representación del número. Así, cualquier número en base 5 tendrá todas sus cifras menores que 5, es decir, sólo podemos usar cifras del 0 al 4.

Y dicho esto, aquí va la pregunta:¿qué números se representan en las bases 7 y 9 con las mismas cifras pero en orden inverso?

P. S.- Este problema me lo han puesto en clase.

Ya está, tiíto --anunció el joven Frank {véase *}
El profesor se alisó la pechera. --Bien, ¿has por fin metido las mil palomas en sus cajas correspondientes siguiendo fielmente mis instrucciones?
--Sí, tíito. No hay dos cajas que tengan el mismo número de palomas.
--¿Y respecto a la caja con mayor número de palomas, contiene una paloma menos que la suma del número de palomas de la caja con menos palomas más el número de cajas?
--Sí, tiíto. Perfectamente. Lo que no sé es para qué quieres tantas palomas.
--¡Ah, sobrino!, pronto lo sabrás, pronto.

Y ahora, la pregunta: ¿Es posible saber cuántas palomas y cuántas cajas hay?

Las fiestas en casa de los Preysler son todo un acierto. Aparte de las ingentes cantidades de Ferrero Rocher {dispuestas en forma piramidal, por supuesto} Isabel sabe muy bien que entre la elite social y la nobleza, aburre mucho compartir compañeros de mesa. O se lo han contado ya todo, o ya han tenido un revolcón en las caballerizas. Por supuesto que a más de una y uno lo que les pondría sería hacérselo con el mozo de cuadras, pero éste se está reservando para la boda con su novio halterofílico {sigue pensando que es que colecciona sellos} Cosas de la edad.

El caso es que esta semana Isabel se ha impuesto que va a invitar a sus siete mejores amigas: Cuqui, Ana,Pilar,Sara, Ana la menor,Esperanza y Letizia, claro. Pero lo hará en varias y exquisitas cenas de tres comensales más ella. Además, todas coincidirán sólo una vez con cada una de las demás. Vamos, que todas podrán soltar sus chascarrillos sin que jamás repitan vecinos de mesa.

Y aquí va la pregunta: ¿Cuántos días necesitará Isabel para distribuir esas cenas?

Me sorprendió mucho, y muy agradablemente, que mi alumno Julio lo resolviera tan rápido. Si es que hay gente lista, no hay más que verlo. Pero en fin, aquí va el problema:
Disponemos de dos mechas que se consumen, cada una, en una hora. Sin embargo, no lo hacen a velocidad constante, ni sabemos cuál es la pauta que siguen para consumirse. Igual la velocidad al principio es elevada, y luego se va decelerando, o al revés, o nada de eso. Lo único que sabemos es lo ya mencionado, que tarda cada una en consumirse por completo una hora.

Y aquí va la pregunta: ¿Cómo procederemos para medir 45 minutos usando dichas mechas?

Hoy he hecho mi primer examen. De álgebra, para más señas, y me ha salido redondo {lo cual incluso puede significar un 0, claro}. No creo haber metido la gamba en ninguna pregunta, excepto en una, en la que he caído cuando fregaba los platos.

Por que veáis la sutileza que se me ha despistado, escribo el texto íntegro de la pregunta:
"¿De cuántas formas se pueden elegir tres números entre los primeros 2005 números naturales de forma que su suma sea múltiplo de cuatro?"

¿Y dónde está la sutileza? Bueno, hay varias. Primero, ¿pueden ser repetidos los números? El profesor en clase ha dicho que "evidentemente, no", aunque yo no lo veía tan evidente, así que lo he resuelto en los dos supuestos. Es decir, con 3 números distintos, o pudiendo repetir números.

Segunda sutileza: ¿una elección en distinto orden es una elección distinta? Es decir, si elegimos 4, 20 y 8, ¿es distinto de de elegir 20, 8 y 4? Yo he supuesto que no, aunque tampoco lo he dejado dicho en mi resolución {cachis}

Y tercera y última sutileza: puesto que el 0 es considerado un número natural, "los primeros 2005 números naturales" son los que van del 0 al 2004. Y ahí sí que no tengo perdón de Diofanto, porque yo lo he resuelto escogiendo los números entre el 0 y el 2005. Espero y confío en que el profe sea igual de despistado que yo.

Me fastidian esas sutilezas, tanto las ambigüedades, como mis despistes. Supongo que un buen enunciado es aquel que, de forma elegante, sin usar muchas palabras y sin dar margen a interpretaciones, plantea un problema de lo más rebuscado. En fin, el miércoles sabré la nota. Ya contaré algo.

Pero, antes de despedirme, el problema: ¿Cuántas ternas diferentes hay de números naturales distintos menores que 2005 tales que la suma de sus elementos sea múltiplo de cuatro? Se entiende que dos ternas son distintas entre sí si difieren en al menos uno de sus elementos.

Eah, a por el 10.

¿El objetivo? Pulsa ?

¿El procedimiento? Tócalo todo.

¿La página? Ésta

Por mediación de la página de Marcia Levitus, snarkiana de pro, llego a este laberinto gris. Uno de cuyos endiablados problemas me ha encantado. Ah, y viene con solución {eso sí, todo en inglés}.

Quizá sea la página que hubiese querido escribir. Lleva dos años y medio en marcha y qué poco he curiosead por la Internet que hasta hoy no la he descubierto. Se llama Tío Petrus y es un blog dedicado a las matemáticas.
He caído en él mirando las páginas de estadísticas de Nedstat para España(!). Anda por entre los cien primeros puestos, cosa que no me extraña, por otro lado. Si he entrado ha sido porque eso de "Tío Petros" me ha recordado a un libro que leí: "El tío Petros y la conjetura de Goldbach", una de las pocas novelas que ha llegado a mis manos cuyo argumento está ligado a las matemáticas.
Por no desviarme mucho {siempre me entra la tentación de andar revoloteando entre temas cual grácil mariposa} diré que aun cuando sean necesarios unos pocos conocimientos de matemáticas para leer algunas entradas del blog, para otras no. Así que desde aquí recomiendo y enlazo la página. Y que ya la tengo agregada a mis favoritos. Eah, a disfrutarla.

El siguiente problema es de ajedrez, pero no al uso, sino como en "La tabla de Flandes", será necesario reconstruir la partida al revés

Dado el diagrama, y sabiendo que es el turno de las blancas, aquí va la pregunta:¿Cuál ha sido la última pieza en abandonar el tablero?

Eran cuatro, y cada cual sabía perfectamente lo que tardaría en cruzar aquel puente a punto de volar en mil pedazos. Homer, 10 minutos; Marge, 5 minutos; Lisa, 2 minutos; y Bart, 1 minuto.
Pero claro, sólo había una linterna, y para cruzarlo era necesario llevarla. Si alguno de ellos lograba llegar al otro lado, tendría que volver al inicio para dejarle la linterna a otro.
Por suerte el puente aguantaba el peso de como mucho dos personas, así que podrían ir en parejas al otro lado, y uno de ellos volver con la linterna para el siguiente. Evidentemente, en esas parejas se tardaría en cruzar el tiempo del más lento. Porque el verdadero problema era el tiempo: 17 minutos antes de que todo se fuera a pique.

Y hete aquí la pregunta: ¿Cómo habrán de cruzar el puente para lograrlo?

Este problema también tiene unos cuantos años, aunque no sé cómo es de conocido. Aquí va:
Hay cien bombillas, todas apagadas, y cada una con su correspondiente interruptor. En una primera pasada, pulsamos todos los interruptores. En la segunda pasada, pulsamos uno sí, y uno no, comenzando con el primero. En la tercera, pulsamos uno sí, dos no; es decir, uno de cada tres. Si la bombilla correspondiente estaba encendida, se apagará; si estaba apagada, se encenderá. La cuarta pasada, igual ritmo: pulsar uno sí, tres no.

Y aquí viene la pregunta: ¿Qué bombillas estarán encendidas, y cuáles apagadas tras dar 100 pasadas?

Eah, a fundir bombillas.

Cleopatra guarda sus diamantes en un joyero de tapa corrediza. Para disuadir a los ladrones, dentro de la caja hay un áspid vivo cuya mordedura es letal.

Un día, un esclavo se quedó solo durante unos minutos en la estancia de las joyas, y fue capaz de robar unas cuantas gemas de enorme valor, sin sacar el áspid de la caja, y sin tocar ni influir en la serpiente de ninguna forma. Tampoco tuvo que hacer nada para protegerse las manos. Empleó tan sólo unos cuantos segundos en el robo. Cuando el esclavo salió de la habitación, el joyero y la serpiente se encontraban exactamente en el mismo estado que antes, salvo por las gemas robadas.

Y aquí viene la pregunta: ¿De qué ingenioso método se valió el esclavo?

{Extraído de "Inspiración ¡ajá!", de Martin Gardner, ed. Labor}

Mi tío tiene una máquina peculiar. No parece hacer nada. Sólo hay una pantalla que muestra un color de entre seis y un selector al lado para escoger también uno de esos colores. Una vez escogido el color, pulsas un botón, y hala, la pantalla cambia de color. Por supuesto, el color al que vira la pantalla vuelve a ser uno de esos seis.

Estuve tomando notas, espiando a mi tío, para ver si lograba descubrir qué pauta seguía la máquina, pero no logré gran cosa. A saber:

• Los seis colores eran: Blanco, azul, verde, rojo, amarillo y violeta.
• Si la pantalla estaba en blanco y pulsas el botón, la pantalla vira al color que marca la ruleta. También si la ruleta marca el blanco y pulsas el botón, la pantalla no cambia de color.
• Al parecer para cada color de pantalla había siempre otro color {o el mismo color} para la ruleta de forma que volvían blanca la pantalla.
• Con la pantalla inicialmente en azul, pulsando la ruleta en verde, vira a blanco; si la ruleta está en rojo, vira al violeta; si la ruleta está en amarillo, vira al rojo; y con la ruleta en violeta, vira al amarillo. Extraño.
• Con la pantalla inicialmente en verde, sólo logré ver que pulsando con la ruleta en azul, la pantalla vira a blanco; y con la ruleta en verde, vira a azul. Más extraño.
• También logré ver que si la pantalla estaba en rojo, viraba a azul pulsando la ruleta en amarillo. Y si la pantalla estaba violeta, viraba a azul también pero pulsando la ruleta en rojo. Extrañísimo
• Una de las cosas que más me sorprendió fue una curiosa coincidencia, y es que las operaciones, cuando incluían tres colores, parecían dar el mismo resultado. Es decir, si con la pantalla en color rojo {por ejemplo} pulsas verde, y luego azul, el resultado es el mismo si con la pantalla en rojo pulsas el color que obtienes con la pantalla en verde pulsando azul. {Creo que eso se llama propiedad transi-no-sé-qué}

Llevé esas anotaciones al diagrama que muestro y me di cuenta de que eran suficientes para completar las operaciones de la máquina. Eso sí, ¿para qué servirá?

El objetivo de la máquina, toda una incógnita, pero ¿podrías completar la tabla de colores?

9199199999, 9997979977, 9997989979, 9998002999, 9998039999,9999999929

Esta vez la pregunta es corta {y aunque parezca mentira, fácil, ni siquiera hace falta pista alguna}: De los números arriba listados, ¿cuál no es primo?

El profesor nos puso un sombrero a cada uno, y en cada sombrero había una carta con una cifra que podía ser un 1 o un 2. Yo no sabía qué carta era la mía, pero sí que podía ver la de mi compañero. Después el profesor anotó dos números en la pizarra y nos dio las instrucciones:

--Uno de los números que he anotado en la pizarra es la suma de las cifras de vuestros sombreros, el otro es sólo para despistar. Cuando yo toque esta campana --nos enseñó una campanilla que estaba apoyada sobre la mesa-- tenéis que decirme qué número es el que lleva vuestro sombrero, si es que lo sabéis. Si no lo sabéis, permaneced callados, porque volveré a tocarla hasta que alguien sepa cuál es su número.

Al primer toque de la campanilla tanto mi compañero como yo permanecimos callados, pero al segundo toque, ambos dijimos cuál era el número de nuestros respectivos sombreros.

Y aquí va la pregunta: ¿Qué números había en los sombreros y en la pizarra?

Para entrar en aquel selecto club había que dar la clave adecuada. Y no era fácil, porque la clave no era un número, sino que consistía en cómo subir las escaleras de acceso. Bajo algunos de los peldaños había sensores conectados entre sí, de tal forma que si los subías con la secuencia adecuada, la puerta de entrada al club se abría.

Para evitar que los miembros del club se espatarraran en la escalera intentando subir tres o más escalones de una vez, las secuencias siempre se limitaban como mucho a saltarse un escalón, es decir, subir dos escalones de un solo paso. Además, nunca se retrocedía escaleras abajo para dar la clave{esto se cambió cuando el mayor Peabody sufrió aquel famoso percance con erótico resultado}

El caso es que si uno era paciente, podía conseguir acceder al club después de todo. Yo lo conseguí. Bastaba con probar toooodas las secuencias posibles para subir aquella escalera dando pasos de uno o dos escalones. Mi trabajo me costó.

Y hete aquí la pregunta:Puesto que la escalera tenía ocho escalones {ocho pasos simples, por tanto}, ¿cuántas combinaciones había posibles?

Ya os hablé de éste. Gracias a Quino me enteré de que existe su segunda parte.

Eah, a toquetear.

"Futurama" es una serie que no ha tenido el éxito que merece. Quizá, como leí una vez, ya están Los Simpson para contar lo que Futurama cuenta. Puede, y llego a pensar que los de Springfield{¿o era Springfield?, no, estoy seguro de que el Springfield ese, era Springfield, y no Springfield, como en Springfield} rompen con todo esquema sin necesidad de caer en la clasificación X. A Futurama se le ve más basto, menos agudo. El filo de la serie futurista es de sierra y recurre más veces que Los Simpson a la clasificación "para adultos". Es como la diferencia entre un chiste en el que tardas en caer, y una chica de generosos pechos pillada en un resbalón con una piel de plátano.

Pero esto no iba a ser una entrada para defender a Futurama, sino para engarzar un enlace a esta curiosa página que nos habla sobre las matemáticas que hay en Futurama. Nunca me había fijado, y lo cierto es que una parte de mí se regocija. Pero entonces, al final, hay un enlace que me lleva hasta aquí. Suspiro aliviado: Por esta vez ¡gana Futurama!

{El enlace a la página de matemáticas en Futurama lo extraje de Oink!}

Pese a que les tengo cierta tirria, hoy el problema va de reglas de 3, aunque en una versión algo más complicada, aunque accesible:
Disponemos de 30 máquinas para realizar un trabajo en 30 días. Si al cabo de 12 días se añaden 6 máquinas más, ¿cuánto tardarán en terminar el trabajo?

Bien planteado, es muy fácil. A ver qué se os ocurre. ¿Alguna idea?

Desde Oink!, una vez más, llego a Vexed, un jueguito de pensar. El objetivo del juego es deshacerte de todos los cuadrados de colores moviéndolos. Si pones dos del mismo color en contacto, ¡bum!, estallan. ¿A que mola? Pues pica, y no son problemas tan fáciles, compañeros.

PQRST es una página web donde cada cierto tiempo se abre el plazo para participar en un concurso de puzzles. Puzzles lógicos, y algunos matemáticos. Y ya van por la edición 14, que comienza el próximo día 6 de agosto.

Si te interesa el concurso y quieres tener una puntuación que exhibir ante tus amistades {pronto dejarán de serlo, si lo haces, te aviso}, participa. Algunos puzzles son realmente sorprendentes.

Por cierto, ¿qué es esta fiebre de Sudoku? Que yo sepa, periódicos como El País y El Mundo ya lo incluyen en sus ediciones impresas. Y este último, incluso tiene un concurso. Se agradece el soplo de novedad. Además de que es un puzzle que puede ir de lo sencillo, a lo sencillamente endiablado. ¡Chapeau!

Me entero por error500 de que existe un programa en la plataforma java para jugar a Sudoku. Que sea en dicha plataforma, ¿será que podré instalarlo en mi nokia?

Pero entonces entro en alt1040, y me entero de que hay otras opciones. Algunas, de pago. ¿Pagaré?

Pronto habrá más información en sus pantallas.

Para imprimir los números de página de este libro se han utilizado 2889 dígitos.¿Cuántas páginas tiene?

Supongo que muchos conoceréis la sucesión de Fibonacci. ¿Que no? Uy, por dónde empezar, ¿por lo que es una sucesión o por ésta en concreto?

Mmm, supongamos que tenemos una hilera de gente haciendo cola. Está claro que cada uno tiene una edad concreta. Así, el primero de la fila puede tener 36 años; el segundo, 27; el tercero, 43; el cuarto... En fin, lo que tenemos ante nosotros es una sucesión de edades: 36, 27,43, etc. Y no más que eso es una sucesión: un conjunto de números donde cada uno tiene asignado un orden.

Cuidado, no confundamos el número en sí con el orden que ocupa. El trigésimo sexto número de nuestra sucesión puede ser cualquier número, no hace falta que tenga nada que ver con el lugar que ocupa en la fila. Igual la edad de esa persona que hace el lugar 36 es de 47 años, o igual tiene 19, o igual es un bebé de 7 meses, vaya usted a saber. Lo importante es tener claro que una cosa es qué orden ocupa en la fila, y otra qué número es.

Y ahora, el lío: Supongo que sabéis que en matemáticas se suelen designar con letras a los números. Quicir, si hablamos de un número en general, sin precisar de qué número estamos hablando, usamos letras para designarlo. Por ejemplo, la x es muy usual. Así hablamos de "el número x". Y si tuviéramos más números, pues más letras usaríamos: "los números x, y, z". Pero, ¿y si son muchos más? Puede ser que tengamos más de 26 números y nos quedemos cortos con las letras del alfabeto. ¿Qué hacemos?

Pues numerarlos:x₁, x₂,x₃, x₄ serían 4 números distintos, porque aunque vienen indicados con la misma letra, la x, tienen distinto subíndice.

Además, esto de numerarlos nos permite una ventaja más: Ordenarlos. Así, x₁ sería un primer número, mientras que x₂ es un segundo número. ¡Ojo! x₁ no tiene por qué valer 1, es simplemente un número que ocupa el primer lugar en una hilera. ¿Y esto no es precisamente lo que pretendemos cuando definimos una sucesión? En el ejemplo de la gente haciendo cola tendríamos que el valor de x₁ sería 36, que era la edad de la primera persona en la fila. El valor de x₂ sería 27, y de forma similar x₃ sería 43. Por tanto, si yo pregunto por el valor de x₃₆ en realidad lo que pido es la edad de la persona que ocupa el lugar 36 en la fila.

{Continuará...}

Continuamos con nuestra historia de las sucesiones de números.

Quedamos en que una sucesión no es más que una serie de números ordenados, y que designábamos con un subíndice al orden que ocupan en la sucesión. Así, decíamos, el número que ocupe el lugar duodécimo podemos denotarlo por x₁₂. Si nuestra sucesión estuviera formada por los números 12, 4, 56 y 79 tendríamos que x₁=12, x₂=4, x₃=56 y x₄=79.

Cuando definimos una sucesión de esta forma, término a término, lo estamos haciendo de forma explícita. Ahora bien, esta forma de definir sucesiones es un poco pesada si es que los términos de la sucesión son muchos, pero no tendremos más remedio que usarla si los términos de nuestra sucesión no siguen un patrón definido. Si hubiese alguna relación entre el lugar que ocupa un término, y el valor de dicho término, quizá entonces...

Quizá entonces... podríamos usar una definición implícita de los términos de la sucesión. Por ejemplo, pongamos que nuestra sucesión es algo así como: x₁=2, x₂=4, x₃=6 y x₄=8, etc... ¡Hey, aquí hay un patrón! {Con lo que ya no manda marinero}. En esta sucesión, cada término parece ser simplemente el doble del lugar que ocupa. ¿A que estaríamos dispuestos a apostar a que el término que sigue, el quinto, o x₅, vale 10? Pues si ése fuese exactamente el patrón que se sigue para conseguir los términos, podríamos escribir que x_n=2n. Es decir, con esa fórmula afirmamos que cada término, el que ocupa el lugar n-ésimo es igual al doble de n. No escribimos cuál es cada término, pero sí que damos una regla para obtener cualquiera de ellos.

Atreveos vosotros, intentad darme la fórmula implícita que genera las siguientes sucesiones:

• 1,4,9,16,25,...
• 3,6,9,12,15,...
• 2,6,12,20,30,...

Decíamos ayer que una sucesión podía definirse dando una regla para obtener un término simplemente conociendo el lugar que ocupa. Por ejemplo, una sucesión dada por:
x_n=n²
nos dice que el término x_n, que ocupa el lugar n-ésimo se obtiene haciendo el cuadrado de n; así, si queremos calcular cuánto vale el que ocupa el duodécimo lugar {n=12}, basta con hacer 12², y obtener 144. Así, x₁₂=144

Pero ésta tampoco es la única forma de definir a todos los términos. Otra forma posible es mediante recursividad donde cada término de la sucesión se define en función del anterior o anteriores. Me explico:
Supongamos que yo quiero construir una sucesión, llamémosla a_n, de tal forma que su primer término sea 5. Y que para obtener el segundo término lo que hagamos sea añadir 3. Es decir, a₂=8. Volvemos a hacer lo mismo, añadir 3, para obtener el tercer término,a₃=11; y a éste le añadimos 3 de nuevo para obtener el cuarto término, a₄=14; y etcétera. Es decir, para obtener un término concreto no tenemos más que sumar 3 al anterior. ¿Cómo escribiríamos eso?

Recordemos que el subíndice n que aparece en la expresión a_n nos indica el orden que ocupa el término en la sucesión. Así visto, el término anterior será el que lleve de subíndice la expresión n -1 pues para obtener el número ordinal que está justo antes del n sólo es necesario restar uno.

Por tanto, el término anterior al a_n no es más que el a_n-1, expresión que tiene sentido siempre y cuando n>1, es decir, que n sea mayor que 1, porque el primer término de la sucesión no viene precedido por ningún otro, que para eso es el primero.

Y ahora ya, como dijo la hormiga, vayamos al grano:
nuestro problema en cuestión era intentar definir todos los términos de la sucesión a_n en la que cada término se obtenía sumándole 3 al que le precedía, ¿no es cierto? Pues bien, ya disponemos de las armas adecuadas. Si queremos definir un término que no sea el primero nos bastaría con escribir
a_n=a_n-1+3
¿y qué hacemos con el primer término? pues poca cosa, ése lo definimos explícitamente, diciendo que
a₁=5
y listo.

¿A nadie le mosquea el título de esta serie de entradas a este blog? Quizá pueda poner como problema que se adivine por qué narices los estoy titulando "El buen hijo". ¿Alguien tiene ya alguna idea?

Este planeta anda sobrado de lunas. No hablo de La Tierra, sino de otro planeta, origen de seres como el mismo Jacko. Pues bien, en este planeta orbitan dos lunas, Ámbar y Yurema, en círculos concéntricos y en el mismo plano que el ecuador del planeta. Uno de ellos, Ámbar, tiene un periodo orbital, medido desde un punto fijo en el ecuador del planeta, de 720 horas terrestres, mientras que el periodo de Yurema es de 480 horas terrestres. En cierto instante ambos satélites coincidieron en la vertical de un punto sobre la superficie del planeta, espectáculo que fue retransmitido en directo por televisión, justo antes de "Días de cine". Lástima que coincidiera con aquella entrevista a a quel futbolista en la que contó con todo lujo asiático de detalles cómo se subía los calcetines. Y digo lástima porque nadie vio aquel lunático eclipse.

En fin, y como dijo la levadura, metámonos en harina. Primera pregunta: ¿Cuántas horas transcurrirán para que vuelva a ocurrir ese hecho sobre el mismo punto?{El hecho del eclipse entre Ámbar y Yurema, no el de que el futbolista se suba los alcetines}. Y segunda pregunta: Si nos fuera indiferente el punto de la superficie sobre cuya vertical ocurre la superposición de ambos satélites, ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta el próximo eclipse?